La storia di SAŠK risale al 1910, quando fu fondata come Hrvatski ŠK.
Nel 1919 fu rinominato Sarajevski Amaterski Sportski klub (Club sportivo amatoriale di Sarajevo) o SAŠK. Insieme al FK Slavija, è il club bosniaco con il maggior numero di partecipazioni nella Prima Lega jugoslava ed è riuscito, in un’occasione a raggiungere anche la finale del campionato jugoslavo esattamente nel 1923 la prima edizione del campionato jugoslavo dove venne battuta dal Građanski Zagreb.
Il gagliardetto presentato oggi è un esemplare verosimilmente riconducibile agli Anni Venti il periodo di maggior fulgore della squadra di Sarajevo rappresentativa della locale comunità croata come, peraltro, indicato nella denominazione assunta alla fondazione.